Графики функций и их польза
Слайд 1
ДЛЯ ЧЕГО НАМ НУЖНЫ ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ Работу выполнил Ученик 10 А класса СОШ №26 Есипов Андрей
Слайд 2
Цель 1. Показать актуальность изучения функции и её графика на конкретных примерах. 2. Мотивировать учащихся к изучению и поиску в различных источниках дополнительного материала.
Слайд 3
Содержание 1.Введение. 2.Зачем нужны графики функции. 3 . Логарифмическая функция в науке. 4. Понятие о статических графиках. Основные элементы графика. 5. Виды статистических графиков. Графики сравнения.
Слайд 4
Основные идеи статьи (краткая аннотация): 1. Один из наиболее важных методических вопросов – вопрос мотивации изучения конкретного математического содержания. Учащиеся часто склоны считать, что математический материал, предлагаемый им для изучения, никогда не пригодится им в жизни. Особенно это касается изучения функций и их графиков в старших классах. 2. Однако с дидактической точки зрения повышенное внимание к процессу построения графиков различных функций на уроках математики в последнее время вполне оправдано. иллюстрацию, интерпретацию свойств функции. Умение переводить с языка алгебры на язык геометрии – необходимы как физикам, так «График функции можно использовать как геометрическую, «объединить» полученные алгебраически свойства функции «на картинке», на графике, умение и лирикам». 3. Автор связывает умение строить и читать графики функций с требованиями стандарта «двуязычного» мышления, с математическим билингвизмом. В статье приводятся интересные примеры, показывающие роль элементарных функций и их графиков в исследовании поведении ряда нетривиальных функций. Особо отмечается роль графиков функций в творческой, эвристической деятельности при решении задач уровня С в ЕГЭ. Содержание Содержание
Слайд 5
Так для чего же вообще нужны графики, точнее — какую пользу может принести их знание? На взгляд некоторых учёных главное назначение графиков состоит в их значении для эвристической деятельности — иллюстрации к изложению теории и, прежде всего, указание примеров и контрпримеров для доказательства или опровержения связей между различными свойствами функций, т.е. использование вырабатываемой в соответствии с требованиями стандарта «двуязычного» мышления, математического билингвизма. Графиком функции называется множество всех точек Содержание
Слайд 6
Логарифмическая функция в науке Широкое применение нашла логарифмическая функция в астрономии : Например по ней изменяется величина блеска звезд, если сравнивать характеристики блеска отмеченные глазом и с помощью приборов, то можно составить следующий график: Здесь по вертикальной оси отложим блеск звезд в единицах Гиппарха (распределение звезд по субъективным характеристикам (на глаз) на 6 групп), а на горизонтальной – показания приборов. По графику видно, что объективные и субъективные характеристики не пропорциональны, а прибор регистрирует возрастание блеска не на одну и ту же величину, а в 2,5 раза. Эта зависимость выражается логарифмической функцией. Ещё одно применение логарифмической функции можно найти, если рассматривать логарифмическую спираль. Спираль, по определению – это плоская линия, образованная движущейся точкой, которая удаляется по определенному закону от начала луча, равномерно вращающегося вокруг своего начала. Если начало спирали выбрать за полюс полярной системы координат, то математически спираль может быть представлена с помощью некоторого полярного уравнения r = f ( j ) , где r – радиус-вектор спирали, j – угол, откладываемый на полярной оси, f ( j ) – некоторая монотонно возрастающая или убывающая положительная функция. В случае с логарифмической спиралью точка удаляется по экспоненциальному закону ( , где a – произвольное положительное число ).
Слайд 7
Если взглянуть на форму многих галактик, то можно обнаружить, что некоторые из них имеют форму логарифмической спирали. Галактика млечный путь – типичная спиральная галактика. Но форму логарифмической спирали имеют не только объекты астрономии, но и например: ракушки многих улиток рога козлов, паутина паука , семечки подсолнуха. В физике тоже есть немало примеров применения логарифмической функции и логарифмов. Например, подобно оценки блеска звезд в предыдущем пункте, оценивается громкость шума. Единицей громкости служит «бел», практически его десятая доля – децибел. Последовательные степени громкости 1 бел, 2 бела и т.д. – составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию. Физическая сила этих шумов составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Разности громкости в 1 бел соответствует отношение силы шумов 10. Это значит, что выраженная в белах громкость шума, равна десятичному логарифму его физической силы. Заметим, что в физике, при проведении научных, экспериментальных расчетов показательная, логарифмическая функции, экспонента и логарифмы применяются очень широко, но как правило не как описание отдельного процесса или комплекса процессов, а входят в состав сложных уравнений и систем уравнений и формул, описывающих данный процесс . Логарифмическая спираль. Также широкое применение нашла логарифмическая функция и в экономике: Например капитал, приносящий 5%, увеличивается ежегодно в 1,05 раза, не слишком впечатляющее возрастание, если рассматривать его на небольшом промежутке времени (в несколько лет), а если рассмотреть размер этой суммы через десять, сто лет или даже более долгий срок, то увеличение будет более чем значительным. Содержание
Слайд 8
Понятие о статических графиках. Основные элементы график В статистике графиком называют наглядное изображение статистических величин и их соотношений при помощи геометрических точек, линий, фигур или географических картосхем. Графики придают изложению статистических данных большую наглядность, чем таблицы, выразительность, облегчают их восприятие и анализ. Статистический график позволяет зрительно оценить характер изучаемого явления, присущие ему закономерности, тенденции развития, взаимосвязи с другими показателями, географическое разрешение изучаемых явлений. Еще в древности китайцы говорили, что одно изображение заменяет тысячу слов. Графики делают статистический материал более понятным, доступным и неспециалистам, привлекают внимание широкой аудитории к статистическим данным, популяризируют статистику и статистическую информацию. При любой возможности анализ статистических данных рекомендуется всегда начинать с их графического изображения. График позволяет сразу получить общее представление обо всей совокупности статистических показателей. Графический метод анализа выступает как логическое продолжение табличного метода и служит целям получения обобщающих статистических характеристик процессов, свойственных массовым явлениям. При помощи графического изображения статистических данных решаются многие задачи статистического исследования: 1) наглядное представление величины показателей (явлений) в сравнении друг с другом; 2) характеристика структуры какого-либо явления; 3) изменение явления во времени; 4) ход выполнения плана; 5) зависимость изменения одного явления от изменения другого; 6) распространенность или размещение каких-либо величин по территории. Другими словами, в статистических исследованиях применяются самые разнообразные графики. В каждом графике выделяют (различают) следующие основные элементы: 1) пространственные ориентиры (систему координат); 2) графический образ; 3) поле графика; 4) масштабные ориентиры; 5) экспликация графика; 6) наименование графика
Слайд 9
Иногда п.5 и п.6 объединяют в один элемент. А) Пространственные ориентиры задаются в виде системы координатных сеток. В статистических графиках чаще всего применяется система прямоугольных координат. Иногда используется принцип полярных (угловых) координат (круговые графики). В картограммах средствами пространственной ориентации являются границы государств, границы административных его частей, географические ориентиры (контуры рек, береговых линий морей и океанов). На осях системы координат или на карте в определенном порядке располагаются характеристики статистических признаков изображаемых явлений или процессов. Признаки, располагаемые на осях координат, могут быть качественными или количественными. Б) Графический образ статистических данных представляет собой совокупность линий, фигур, точек, образующих геометрические фигуры разной формы (окружность, квадраты, прямоугольники и т.п.) с различной штриховкой, окраской, густотой нанесения точек. Любое явление, изучаемое статистикой, можно представить в графической форме. Для этого требуется найти правильное графическое решение, определить тот графический образ, который лучше всего соответствует данному явлению, нагляднее изображает статистические данные. Графический образ должен соответствовать цели графика. Поэтому перед построением графика необходимо уяснить сущность явления и цель, которая ставится перед графическим изображением. Выбранная форма графика должна соответствовать внутреннему содержанию и характеру статистического показателя. Например, сравнение на графике производится по таким измерениям, как площадь, длина одной из сторон фигур, местонахождением точек, их густотой и т.д. Так, для изображения изменений явления во времени наиболее естественным типом графика является линия. Для рядов распределения – полигон или гистограмма. В) Поле графика – это пространство, в котором располагаются графические образы (геометрические тела, образующие графики). Поле графика характеризуется по размерам и пропорциям. Размер поля зависит от назначения графика. Пропорции и размер графика (формат графика) должны соответствовать также сущности изображаемых явлений. Для статистических исследований часто используются графики с неравными сторонами, например, с соотношением сторон поля 1: или 1:1,33 до 1:1,6+5,8. Но иногда удобна квадратная форма графиков. Г) Масштабные ориентиры , обеспечивающие геометрическому образу количественную определенность, – это использованная в графике система масштабных шкал. Масштабом графика называется условная мера перевода статистической числовой величины в графическую. Масштабная шкала – это линия, отдельные точки которой могут быть в соответствии с принятым масштабом прочитаны как определенное значение статистического показателя. Масштаб выбирается с таким расчетом, чтобы на графике могла поместиться самая большая и самая маленькая из изображаемых величин. Масштабные шкалы бывают равномерными и неравномерными, прямолинейными (обычно располагаются по осям координат) и криволинейными (круговые в секторных диаграммах). Д) Экспликация графика – это словесное пояснение его содержания (название графика и соответствующие пояснения отдельных его частей). Название графика должно точно и кратко раскрывать его содержание. Пояснительные тексты могут располагаться в пределах графического образа, рядом с ним или выноситься за его пределы, вдоль масштабных шкал. Они помогают мысленно перейти от геометрических образов к явлениям и процессам, изображенным на графике. Особенность графических изображений в их выразительности, доходчивости и обозримости . Однако графические изображения не только иллюстративны, они носят и аналитический характер. Итак, в настоящее время графики широко применяются в учетной и статистической практике предприятий и учреждений, в научно-исследовательской работе, в производственно-хозяйственной деятельности, в учебном процессе, пропаганде и других областях. Содержание
Слайд 10
Виды статистических графиков. Графики сравнения Как отмечалось выше, любое явление, изучаемое статистикой, можно представить в графической форме. Графические способы изображения могут быть сгруппированы по различным признакам: по форме графического образа, по типу шкалы, поля, задачам изображения и т.д. По виду поля графика различают диаграммы и статистические карты. По форме графического образа различают линейные, плоскостные, объемные, точечные, фоновые, изобразительные диаграммы и карты. По типу шкалы: линейные равномерные (арифметические), линейные неравномерные (функциональные, логарифмические), криволинейные и др. По задачам изображения можно выделить: 1) графики статистического и динамического сравнения; 2) графики структуры и структурных сдвигов или структурно-динамические; 3) графики динамики или динамические; 4) графики контроля выполнения плана; 5) графики пространственного (территориального) размещения и пространственной распространенности; 6) графики вариационных рядов; 7) графики зависимости варьирующих признаков и взаимосвязи и др.
Слайд 11
Разные виды статистических графиков Каждый из основных видов графических изображений в статистической практике строится с учетом определенных правил. В статистических исследованиях для выяснения характерных черт и особенностей массовых явлений, познания типичного в этих явлениях и решения других задач широко используется сравнение одних абсолютных, средних и относительных статистических величин с другими. Анализ – это, прежде всего сравнение и сопоставление статистических данных. Нередко возникает необходимость сопоставления результатов статистического исследования конкретного явления с величинами типичного (идеального) явления аналогичной природы. Поэтому наглядное представление (графическое изображение) сравнения статистических показателей относится к наиболее распространенным графикам в статистике. Для этих целей применяются диаграммы. Диаграмма – это графическое изображение, наглядно показывающее соотношение между сравниваемыми величинами. Диаграмма представляет собой чертеж, на котором статистические данные условно изображаются геометрическими линиями, фигурами и телами различных размеров. Различают следующие основные виды графиков (диаграмм) сравнения: столбиковые, полосовые, квадратные, круговые, фигурные.
Слайд 12
Вывод: Таким образом, графики функции необходимы и важны во многих науках.
Слайд 13
Список источников: https://www.orenipk.ru/rmo_2009/rmo-pred-2008/matem/grafiki.doc https://fgraphiks.narod.ru/logarifmicheskaya.html https://allstats.ru/?cat=78
Источник
Слайд 1
ДЛЯ ЧЕГО НАМ НУЖНЫ ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ Работу выполнил Ученик 10 А класса СОШ №26 Есипов Андрей
Слайд 2
Цель 1. Показать актуальность изучения функции и её графика на конкретных примерах. 2. Мотивировать учащихся к изучению и поиску в различных источниках дополнительного материала.
Слайд 3
Содержание 1.Введение. 2.Зачем нужны графики функции. 3 . Логарифмическая функция в науке. 4. Понятие о статических графиках. Основные элементы графика. 5. Виды статистических графиков. Графики сравнения.
Слайд 4
Основные идеи статьи (краткая аннотация): 1. Один из наиболее важных методических вопросов – вопрос мотивации изучения конкретного математического содержания. Учащиеся часто склоны считать, что математический материал, предлагаемый им для изучения, никогда не пригодится им в жизни. Особенно это касается изучения функций и их графиков в старших классах. 2. Однако с дидактической точки зрения повышенное внимание к процессу построения графиков различных функций на уроках математики в последнее время вполне оправдано. иллюстрацию, интерпретацию свойств функции. Умение переводить с языка алгебры на язык геометрии — необходимы как физикам, так «График функции можно использовать как геометрическую, «объединить» полученные алгебраически свойства функции «на картинке», на графике, умение и лирикам». 3. Автор связывает умение строить и читать графики функций с требованиями стандарта «двуязычного» мышления, с математическим билингвизмом. В статье приводятся интересные примеры, показывающие роль элементарных функций и их графиков в исследовании поведении ряда нетривиальных функций. Особо отмечается роль графиков функций в творческой, эвристической деятельности при решении задач уровня С в ЕГЭ. Содержание Содержание
Слайд 5
Так для чего же вообще нужны графики, точнее — какую пользу может принести их знание? На взгляд некоторых учёных главное назначение графиков состоит в их значении для эвристической деятельности — иллюстрации к изложению теории и, прежде всего, указание примеров и контрпримеров для доказательства или опровержения связей между различными свойствами функций, т.е. использование вырабатываемой в соответствии с требованиями стандарта «двуязычного» мышления, математического билингвизма. Графиком функции называется множество всех точек Содержание
Слайд 6
Логарифмическая функция в науке Широкое применение нашла логарифмическая функция в астрономии : Например по ней изменяется величина блеска звезд, если сравнивать характеристики блеска отмеченные глазом и с помощью приборов, то можно составить следующий график: Здесь по вертикальной оси отложим блеск звезд в единицах Гиппарха (распределение звезд по субъективным характеристикам (на глаз) на 6 групп), а на горизонтальной — показания приборов. По графику видно, что объективные и субъективные характеристики не пропорциональны, а прибор регистрирует возрастание блеска не на одну и ту же величину, а в 2,5 раза. Эта зависимость выражается логарифмической функцией. Ещё одно применение логарифмической функции можно найти, если рассматривать логарифмическую спираль. Спираль, по определению — это плоская линия, образованная движущейся точкой, которая удаляется по определенному закону от начала луча, равномерно вращающегося вокруг своего начала. Если начало спирали выбрать за полюс полярной системы координат, то математически спираль может быть представлена с помощью некоторого полярного уравнения r = f ( j ) , где r — радиус-вектор спирали, j — угол, откладываемый на полярной оси, f ( j ) — некоторая монотонно возрастающая или убывающая положительная функция. В случае с логарифмической спиралью точка удаляется по экспоненциальному закону ( , где a — произвольное положительное число ).
Слайд 7
Если взглянуть на форму многих галактик, то можно обнаружить, что некоторые из них имеют форму логарифмической спирали. Галактика млечный путь — типичная спиральная галактика. Но форму логарифмической спирали имеют не только объекты астрономии, но и например: ракушки многих улиток рога козлов, паутина паука , семечки подсолнуха. В физике тоже есть немало примеров применения логарифмической функции и логарифмов. Например, подобно оценки блеска звезд в предыдущем пункте, оценивается громкость шума. Единицей громкости служит «бел», практически его десятая доля – децибел. Последовательные степени громкости 1 бел, 2 бела и т.д. – составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию. Физическая сила этих шумов составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Разности громкости в 1 бел соответствует отношение силы шумов 10. Это значит, что выраженная в белах громкость шума, равна десятичному логарифму его физической силы. Заметим, что в физике, при проведении научных, экспериментальных расчетов показательная, логарифмическая функции, экспонента и логарифмы применяются очень широко, но как правило не как описание отдельного процесса или комплекса процессов, а входят в состав сложных уравнений и систем уравнений и формул, описывающих данный процесс . Логарифмическая спираль. Также широкое применение нашла логарифмическая функция и в экономике: Например капитал, приносящий 5%, увеличивается ежегодно в 1,05 раза, не слишком впечатляющее возрастание, если рассматривать его на небольшом промежутке времени (в несколько лет), а если рассмотреть размер этой суммы через десять, сто лет или даже более долгий срок, то увеличение будет более чем значительным. Содержание
Слайд 8
Понятие о статических графиках. Основные элементы график В статистике графиком называют наглядное изображение статистических величин и их соотношений при помощи геометрических точек, линий, фигур или географических картосхем. Графики придают изложению статистических данных большую наглядность, чем таблицы, выразительность, облегчают их восприятие и анализ. Статистический график позволяет зрительно оценить характер изучаемого явления, присущие ему закономерности, тенденции развития, взаимосвязи с другими показателями, географическое разрешение изучаемых явлений. Еще в древности китайцы говорили, что одно изображение заменяет тысячу слов. Графики делают статистический материал более понятным, доступным и неспециалистам, привлекают внимание широкой аудитории к статистическим данным, популяризируют статистику и статистическую информацию. При любой возможности анализ статистических данных рекомендуется всегда начинать с их графического изображения. График позволяет сразу получить общее представление обо всей совокупности статистических показателей. Графический метод анализа выступает как логическое продолжение табличного метода и служит целям получения обобщающих статистических характеристик процессов, свойственных массовым явлениям. При помощи графического изображения статистических данных решаются многие задачи статистического исследования: 1) наглядное представление величины показателей (явлений) в сравнении друг с другом; 2) характеристика структуры какого-либо явления; 3) изменение явления во времени; 4) ход выполнения плана; 5) зависимость изменения одного явления от изменения другого; 6) распространенность или размещение каких-либо величин по территории. Другими словами, в статистических исследованиях применяются самые разнообразные графики. В каждом графике выделяют (различают) следующие основные элементы: 1) пространственные ориентиры (систему координат); 2) графический образ; 3) поле графика; 4) масштабные ориентиры; 5) экспликация графика; 6) наименование графика
Слайд 9
Иногда п.5 и п.6 объединяют в один элемент. А) Пространственные ориентиры задаются в виде системы координатных сеток. В статистических графиках чаще всего применяется система прямоугольных координат. Иногда используется принцип полярных (угловых) координат (круговые графики). В картограммах средствами пространственной ориентации являются границы государств, границы административных его частей, географические ориентиры (контуры рек, береговых линий морей и океанов). На осях системы координат или на карте в определенном порядке располагаются характеристики статистических признаков изображаемых явлений или процессов. Признаки, располагаемые на осях координат, могут быть качественными или количественными. Б) Графический образ статистических данных представляет собой совокупность линий, фигур, точек, образующих геометрические фигуры разной формы (окружность, квадраты, прямоугольники и т.п.) с различной штриховкой, окраской, густотой нанесения точек. Любое явление, изучаемое статистикой, можно представить в графической форме. Для этого требуется найти правильное графическое решение, определить тот графический образ, который лучше всего соответствует данному явлению, нагляднее изображает статистические данные. Графический образ должен соответствовать цели графика. Поэтому перед построением графика необходимо уяснить сущность явления и цель, которая ставится перед графическим изображением. Выбранная форма графика должна соответствовать внутреннему содержанию и характеру статистического показателя. Например, сравнение на графике производится по таким измерениям, как площадь, длина одной из сторон фигур, местонахождением точек, их густотой и т.д. Так, для изображения изменений явления во времени наиболее естественным типом графика является линия. Для рядов распределения – полигон или гистограмма. В) Поле графика – это пространство, в котором располагаются графические образы (геометрические тела, образующие графики). Поле графика характеризуется по размерам и пропорциям. Размер поля зависит от назначения графика. Пропорции и размер графика (формат графика) должны соответствовать также сущности изображаемых явлений. Для статистических исследований часто используются графики с неравными сторонами, например, с соотношением сторон поля 1: или 1:1,33 до 1:1,6+5,8. Но иногда удобна квадратная форма графиков. Г) Масштабные ориентиры , обеспечивающие геометрическому образу количественную определенность, — это использованная в графике система масштабных шкал. Масштабом графика называется условная мера перевода статистической числовой величины в графическую. Масштабная шкала – это линия, отдельные точки которой могут быть в соответствии с принятым масштабом прочитаны как определенное значение статистического показателя. Масштаб выбирается с таким расчетом, чтобы на графике могла поместиться самая большая и самая маленькая из изображаемых величин. Масштабные шкалы бывают равномерными и неравномерными, прямолинейными (обычно располагаются по осям координат) и криволинейными (круговые в секторных диаграммах). Д) Экспликация графика – это словесное пояснение его содержания (название графика и соответствующие пояснения отдельных его частей). Название графика должно точно и кратко раскрывать его содержание. Пояснительные тексты могут располагаться в пределах графического образа, рядом с ним или выноситься за его пределы, вдоль масштабных шкал. Они помогают мысленно перейти от геометрических образов к явлениям и процессам, изображенным на графике. Особенность графических изображений в их выразительности, доходчивости и обозримости . Однако графические изображения не только иллюстративны, они носят и аналитический характер. Итак, в настоящее время графики широко применяются в учетной и статистической практике предприятий и учреждений, в научно-исследовательской работе, в производственно-хозяйственной деятельности, в учебном процессе, пропаганде и других областях. Содержание
Слайд 10
Виды статистических графиков. Графики сравнения Как отмечалось выше, любое явление, изучаемое статистикой, можно представить в графической форме. Графические способы изображения могут быть сгруппированы по различным признакам: по форме графического образа, по типу шкалы, поля, задачам изображения и т.д. По виду поля графика различают диаграммы и статистические карты. По форме графического образа различают линейные, плоскостные, объемные, точечные, фоновые, изобразительные диаграммы и карты. По типу шкалы: линейные равномерные (арифметические), линейные неравномерные (функциональные, логарифмические), криволинейные и др. По задачам изображения можно выделить: 1) графики статистического и динамического сравнения; 2) графики структуры и структурных сдвигов или структурно-динамические; 3) графики динамики или динамические; 4) графики контроля выполнения плана; 5) графики пространственного (территориального) размещения и пространственной распространенности; 6) графики вариационных рядов; 7) графики зависимости варьирующих признаков и взаимосвязи и др.
Слайд 11
Разные виды статистических графиков Каждый из основных видов графических изображений в статистической практике строится с учетом определенных правил. В статистических исследованиях для выяснения характерных черт и особенностей массовых явлений, познания типичного в этих явлениях и решения других задач широко используется сравнение одних абсолютных, средних и относительных статистических величин с другими. Анализ – это, прежде всего сравнение и сопоставление статистических данных. Нередко возникает необходимость сопоставления результатов статистического исследования конкретного явления с величинами типичного (идеального) явления аналогичной природы. Поэтому наглядное представление (графическое изображение) сравнения статистических показателей относится к наиболее распространенным графикам в статистике. Для этих целей применяются диаграммы. Диаграмма – это графическое изображение, наглядно показывающее соотношение между сравниваемыми величинами. Диаграмма представляет собой чертеж, на котором статистические данные условно изображаются геометрическими линиями, фигурами и телами различных размеров. Различают следующие основные виды графиков (диаграмм) сравнения: столбиковые, полосовые, квадратные, круговые, фигурные.
Слайд 12
Вывод: Таким образом, графики функции необходимы и важны во многих науках.
Слайд 13
Список источников: https://www.orenipk.ru/rmo_2009/rmo-pred-2008/matem/grafiki.doc https://fgraphiks.narod.ru/logarifmicheskaya.html https://allstats.ru/?cat=78
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Графики функций”.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.
Координатные оси – прямые, образующие систему координат.
Ось абсцисс (ось x ) – горизонтальная ось.
Ось ординат (ось y ) – вертикальная ось.
Функция – это отображение элементов множества X на множество Y. При этом каждому элементу x множества X соответствует одно единственное значение y множества Y.
Линейная функция – функция вида y=ax+b где a и b – любые числа.
Графиком линейной функции является прямая линия.
Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b:
Если a>0, прямая будет проходить через I и III координатные четверти.
b – точка пересечения прямой с осью y.
Если a<0, прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.
b – точка пересечения прямой с осью y.
Если a=0, функция принимает вид y=b.
Отдельно выделим график уравнения x=a.
Важно: это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции (функция ставит в соответствие каждому элементу x множества X одно единственно значение y множества Y). Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу x бесконечное множества элементов y. Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».
Графиком функции y=ax2+bx+c является парабола.
Для того, чтобы однозначно определить, как располагается график параболы на плоскости, нужно знать, на что влияют коэффициенты a,b,c:
- Коэффициент a указывает на то, куда направлены ветки параболы.
- Если a>0 , ветки параболы направлены вверх.
- Если a<0 , ветки параболы направлены вниз.
- Коэффициент c указывает, в какой точке парабола пересекает ось y.
- Коэффициент b помогает найти xв – координату вершины параболы.
xв=−b2a
- Дискриминант позволяет определить, сколько точек пересечения у параболы с осью .
- Если D>0 – две точки пересечения.
- Если D=0 – одна точка пересечения.
- Если D<0 – нет точек пересечения.
Графиком функции y=kx является гипербола.
Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.
Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.
Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы
Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.
На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.
Если коэффициент k>0, то ветви гиперолы проходят через I и III четверти.
Если k < 0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.
Чем меньше абсолютная величина коэффиента k (коэффициент k без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям x и y.
Функция y = x имеет следующий график:
Функция y = f(x)возрастает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x) соответствует большее значение функции (большее значение y).
То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)
Примеры возрастающих функций:
Функция y = f(x)убывает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x) соответствует меньшее значение функции (большее значение y).
То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).
Примеры убывающих функций:
Для того, чтобы найти наибольшее значение функции, находим самую высокую точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y). Это значение и будет являться наибольшим значением функции.
Для того, чтобы найти наименьшее значение функции, находим самую нижнюю точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y). Это значение и будет являться наименьшим значением функции.
Скачать домашнее задание к уроку 5.
Источник
Источник