Приведите доказательство в пользу утверждения
Традиционно принято считать, что основоположниками геометрии как науки являются греки, которые переняли у египтян умения измерять объёмы различных тел и землю. Древние египтяне, установив со временем общие закономерности, составили первые доказательные труды. В них все положения выводились логическими путями из маленького числа недоказываемых предложений или аксиом. Так, если аксиома – высказывание, которое не нуждается в доказывании, то, что такое «утверждение, требующее доказательства»? Прежде чем разобраться в этом, нужно понять, что представляет собой термин «доказательство».
Толкование понятия
Доказательство (обоснование) представляет собой логический процесс установления истинности определённого утверждения с помощью иных утверждений, которые уже доказаны ранее. Так, когда нужно доказать суждение А, то подбирают такие суждения В, С и Д, из которых А следует как логическое следствие.
Доказательства, которые применяются в науке, состоят из различных видов умозаключений, связанных между собой так, что следствие одного является предпосылкой для возникновения другого и так далее.
Доказательство в науке
Развитость любой науки определяется степенью применения в ней доказательств, при помощи которых можно обосновать истинность одних и ложность иных утверждений. Именно доказательства помогают избавиться от заблуждений, открывая простор научному творчеству. А образующаяся с их помощью связь между разными утверждениями определённой науки даёт возможность определить её логическую структуру.
В современное время доказательства широко используются в логике и математике, они представляют собой методы анализа тогда, когда возникает необходимость выявления структуры умозаключений.
Математика
У многих, постигающих такую науку, как математика, возникает вопрос о том, что такое утверждение, требующее доказательства. Ответ («Аватария» свидетельствует об этом) — это теорема.
Она представляет собой математическое утверждение, правдивость которого уже установлена посредством доказательства. Само по себе понятие «теорема» развивалось наряду с понятием «математическое доказательство». С точки зрения аксиоматического метода, теорема какой-либо теории представляет собой те высказывания, которые выводятся только логическим путём из определённых, ранее фиксированных высказываний, называемых аксиомами. А так как аксиома является истинной, то истинной должна быть и теорема.
Далее утверждение, требующее доказательства (теорема), тесно переплеталось с понятием «логическое следствие». Так, со временем процесс логического умозаключения свёлся к появлению формул или математических утверждений, которые записывались на определённом языке по сформулированным правилам, относящимся не к содержанию предложения, а к его форме. Таким образом, в теории доказательство выступает как последовательность формул, каждая из которых является аксиомой.
В математике теорема, или утверждение, требующее доказательства, представляет собой последнюю формулу в процессе доказывания некоторой теории. Данная формулировка образовалась в результате использования различных математических методов. Также было установлено, что аксиоматические теории, которые входят в состав разных разделов математики, являются неполными. Так, существуют утверждения, правдоподобность или ложность которых нельзя установить логическим путём на основе аксиом. Такие теории неразрешимы, не имеют одного метода решения.
Таким образом, утверждение, требующее доказательства, в математикеназывается теоремой.
Философия
Философия представляет собой науку, изучающую систему знаний о характеристиках и принципах реальности и познания. Итак, с этой позиции что собой представляет утверждение, требующее доказательства? Ответ: «Аватария» говорит, что это тезис.
Он в этом случае представляет собой философское или богословское положение, утверждение, которое необходимо доказать. В давние времена этот термин обрел особое значение, поскольку тогда появилось понятие «антитезис», которое представлялось в противоречивом высказывании или умозаключении. Тогда Кант обратил внимание на тот факт, что можно высказывать противоречивые утверждения с такой же правдоподобностью. Например, можно доказывать, что мир бесконечен и возник случайно, он состоит из неделимых атомов, в нём существует свобода. Такие утверждения философ отмечал как совокупность тезиса и антитезиса. Такое противоречивое утверждение, требующее доказательства, а также неразрешимость противоречий, объясняются тем, что разум выходит за рамки познавательных способностей человека.
В философии одному и тому же объекту мысли приписывается свойство, которое в то же время отрицается. Таким образом, чтобы эти составляющие существовали в единстве, необходимо наличие трёх элементов: условия, обусловленности (доказательства) и понятия.
На основании всего этого Гегелем был выведен диалектический метод, в основе которого лежит переход от тезиса посредством доказывания к синтезу. Это стало орудием для построения метафизики.
Логика
В логике утверждение, требующее доказательства, также именуется тезисом. В этом случае он выступает как точное суждение, что выдвинул оппонент, которое он должен обосновать в процессе доказывания. Тезис является главным элементом аргументации.
Правила
На протяжении всего процесса аргументации тезис должен оставаться одним и тем же. Если нарушено данное условие, это ведёт к тому, что будет доказываться не то утверждение, которое должно быть опровергнуто. Здесь сработает правило: «Кто много доказывает, тот ничего не доказывает!»
Отметим еще кое-что, рассматривая этот вопрос: утверждение, требующее доказательства не должно быть многозначным. Это правило защищает от двусмысленности положения при его доказывании. Например, очень часто человек говорит так много, как будто что-либо доказывает, но что именно, остаётся неясным, поскольку его тезис неопределённый. Двусмысленность утверждения приводит к безрезультатным спорам, так как каждая из сторон по-разному воспринимает доказываемое положение.
Утверждение, не требующее доказательства
Ещё Аристотель, рассматривая вопрос о доказуемости утверждений, выдвинул теорию силлогизмов. Силлогизмы состоят из таких утверждений, которые содержат слова «может» или «должен» вместо «есть». Такие высказывания логически не обоснованы, потому что их предпосылки не доказаны. Это затрагивает вопрос об отправных точках развития науки. По мнению Аристотеля, любая наука должна начинаться с утверждений, которые не нуждаются в доказательстве. Он назвал их аксиомами.
Аксиома
Утверждение, не требующее доказательства, — это аксиома. Её не нужно доказывать на практике, необходимо только объяснить, чтобы было понятно. Говоря об аксиомах, Аристотель рассматривал геометрию, которая приобретала форму систематизации. Математика являлась первой наукой, где использовались утверждения, которые не нуждались в обосновании. Потом шла астрономия, так как для обоснования движения планет необходимо прибегать к математическим расчётам. Как видно, науки уже тогда выстраивались наподобие иерархии.
Типы наук по Аристотелю
Аристотель по основным целям выдвигал три типа наук. Теоретические науки дают знания в том ракурсе, в котором они противопоставляются мнениям. Математика здесь является самым ярким примером. Сюда же относят физику и метафизику.
Практические науки направлены на то, чтобы научиться управлять поведением человека в обществе. Сюда можно отнести, например, этику.
Технические науки нацелены на создание руководства по сотворению предметов для их применения в жизни или для того, чтобы любоваться их художественной красотой.
Логику Аристотель не относил ни к одной из групп наук. Она выступает в роли общего способа оперировать вещами, который обязателен для каждой из наук. Логика представлена как инструмент, на который будет опираться научное исследование, поскольку она даёт критерии для различения и доказательства.
Аналитика
Аналитика изучает формы доказательства. Она разлагает логическое мышление на простые составляющие, а от них уже переходят к сложным формам мышления. Так, структура доказательства не требует рассмотрения.
Таким образом, логика и аналитика рассматривают вопросы о том, что такое утверждение, не требующее доказательства. То есть для этих отраслей характерно выдвижение аксиом. Также для них свойственно объяснение того, что такое утверждение, требующее доказательства. Ответы на эти вопросы даются в каждой отрасли науки, поскольку ни одно научное исследование не обходится без логики и аналитики.
Соотношение с действительностью
Рассмотрев вопрос о том, что такое утверждение, требующее доказательства, стало очевидным: сущность самого доказательства состоит в том, что высказывание, находящееся в утверждении, соотносится с действительным положением вещей или с иными фактами, подлинность которых уже была доказана ранее. Например, в некоторых случаях истинность утверждений можно обосновать при помощи эксперимента (физического, биологического, химического), по результатам которого становится видным, соответствуют они изложенным суждениям или нет. Иными словами, результаты исследований будут либо доказательством истинности высказывания, либо его опровержением.
А в других случаях, при невозможности проведения эксперимента, человек прибегает к иным обоснованным утверждениям, из которых выводит истинность своего суждения. Такие доказательства сегодня используются в науке, где объекты находятся за границей человеческой возможности наблюдать за ними. Особенно это актуально в математике, где суждения не могут экспериментально провериться. Поэтому утверждение, требующее доказательства, «Аватария» называет теоремой, единственный путь установления истинности которой является доказательством умозаключений на основе ранее доказанных истинных утверждений.
Итоги
Утверждение, которое требует доказательства, должно быть подкреплено аргументами. В качестве них могут выступать суждения, что были ранее доказаны, например, аксиомы, законы, определения, содержащие высказывания о фактах. Аргументы, которые используются при доказывании, находятся между собой в тесной связи и представляют форму доказательства. Они образуют различного рода умозаключения, которые соединяются в цепь.
На примере рассмотрим утверждение, требующее доказательства: «Полученный в ходе эксперимента металл — не натрий». Для доказательства этого высказывания используются следующие аргументы:
1. Все щелочные металлы при комнатной температуре разлагают воду.
2. Натрий является щелочным металлом. Следовательно, он разлагает воду.
3. Образовавшийся в ходе эксперимента металл воду не разлагает. Следовательно, полученный металл — не натрий.
Как видно, все используемые аргументы являются истинными, доказанность которых происходила в результате наблюдения, обобщения прошлого опыта, силлогистического умозаключения. Процесс доказательства здесь основан на двух умозаключениях, следствие одного при этом является предпосылкой другого.
Всем известна фраза: «Бремя доказательства лежит на утверждающем». Но что именно она означает? Что в доказательствах нуждается «позитивное», а не «негативное» утверждение? (Например, нужно доказывать, что божество существует, но нельзя требовать доказательств того, что его нет). Или что человек, заявляющий нечто (неважно, «позитивный» или «негативный» характер носит его утверждение) должен сам же это доказывать?
На самом деле, ситуация немного сложнее. Ричард Паркер и Брук Мур , авторы одного из самых известных учебников по критическому мышлению, формулируют три правила, в соответствии с которыми следует определять, на ком в данном конкретном случае лежит бремя доказательства:
1. «Изначальное правдоподобие». Чем менее правдоподобным представляется нам утверждение, чем больше оно противоречит существующей системе представлений, тем большее бремя доказательства лежит на авторе этого утверждения. Паркер и Мур признают, что эта формулировка достаточно проблематична, поскольку «мы не можем оценить точный уровень изначального правдоподобия каждого утверждения». Тем не менее, если некий автор утверждает, что никакого Наполеона Бонапарта не существовало в природе, мы вправе требовать от него доказательств, а не тратить время на то, чтобы доказывать, что Наполеон — реальная историческая фигура, несмотря на то, что это противоречит второму правилу.
2. В доказательствах нуждается «позитивное», а не «негативное» утверждение. Принцип, знакомый нам всем, как и знаменитый «чайник Рассела», иллюстрирующий этот тезис. Из недавних примеров в моем ЖЖ: когда я написал «Сталин не говорил ничего подобного», один из читателей заявил, что я не могу утверждать это, поскольку не в состоянии доказать, что Сталин никогда не говорил таких слов. Однако доказать, что человек никогда в жизни не произносил определенной фразы, как Вы понимаете, невозможно в принципе. Можно только доказать (или не доказать), что слова были произнесены.
С этим пунктом, однако, есть некоторая проблема, о которой Паркер и Мур не пишут. Дело в том, что не всегда можно определить, какой тезис является «позитивным», а какой — «негативным». Представим себе следующую ситуацию. Мы с женой просыпаемся однажды утром.
Жена: Как хорошо, что сегодня выходной, можно не вставать!
Я: С чего ты решила, что сегодня выходной?
Жена: Ну, докажи, что сегодня не выходной.
Я: Ну уж нет. Ты говоришь, что сегодня выходной, а я — что нет. Значит, бремя доказательства лежит на тебе.
Жена: Наоборот. Это ты утверждаешь, что сегодня рабочий день, а я — что нет. Значит, бремя твое!
3. Наличие особых обстоятельств. Сюда относятся, к примеру, случаи, когда обязанность одной из сторон представлять доказательства зафиксирована юридически. Сюда же можно отнести такой фактор, как уровень риска. Грубо говоря, представлять доказательства должна та сторона, решение которой подразумевает более высокий уровень риска и цену ошибки. Например, фармацевтическая компания, выпуская на рынок новое лекарство, не имеет права занять позицию «Пока не доказано, что у нашего лекарства есть побочные эффекты, оно считается безопасным». Она должна провести комплекс клинических испытаний и доказать, что значимые побочные эффекты отсутствуют. Возвращаясь к примеру утреннего диалога с женой, можно сказать, что последствия прогула работы гораздо серьезнее, чем последствия раннего подъема в выходной, поэтому именно жена должна доказывать свою точку зрения.
В заключение — два замечания:
— Все написанное выше касается не только науки или какой-либо иной конкретной сферы и носит более общий характер. В конкретных сферах применения, естественно, можно и нужно модифицировать эти правила.
— Бремя доказательств не обязательно лежит только на одной стороне. Во многих ситуациях (например, два конкурирующих варианта действий) доказывать свою точку зрения должны оба. В этом случае вышеописанные правила помогают определить, к доказательствам какой стороны необходимо подходить более строго.
Цели урока. В ходе урока учащиеся
смогут:
- проводить классификацию утверждений на
истинные утверждения и ложные утверждения; - анализировать предложенный текст;
- находить среди предложенных утверждений общие
утверждения или утверждения типа “хотя бы
один”; - проводить доказательство истинности или
ложности утверждений; - работать в группе.
Материалы к уроку:
1. Учебник математики в 5 классе, глава 1, §3, п.2 и
п.3. ( Г. В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон “Математика, 5
класс”. Часть 1.)
2. Карточки с записанными утверждениями:
– Все натуральные числа больше 1.
– Некоторые произведения А.С. Пушкина написаны в
прозе.
– Любое натуральное число делится на 2.
– Произведение двух натуральных чисел может быть
больше их суммы.
– Сумма любых трех последовательных натуральных
чисел делится на три.
– Сумма двух натуральных чисел не всегда делится
на 3.
– Сумма любых двух чисел из множества {21; 15; 81; 27; 1215;
45} делится на 3.
– Сумма любых двух соседних натуральных чисел
число нечетное.
Ход урока.
I. Мотивация.
Для актуализации знаний, приобретенных
учащимися на предыдущем уроке, учитель
предлагает ответить детям на следующие вопросы:
– Над какой темой мы работали на последнем уроке
математики? (Утверждения.)
– Что такое утверждение? (Утверждение – это
предложение, в котором есть тема – то, о чем
говорится в предложении, и рема – то, что
сообщается о теме.)
– Какие бывают утверждения? (Утверждения бывают
истинные и ложные.)
Учитель обращает внимание учащихся на
вывешенные на доске карточки с записанными на
них утверждениями и предлагает провести их
классификацию по основанию «истинность
утверждения», то есть распределить утверждения
на два столбика «Истинные утверждения» и «Ложные
утверждения», проводя обоснование своего выбора.
Учащиеся, предлагая различные варианты
классификации, испытывают затруднения в
обосновании отнесения утверждений к той или иной
группе. Выясняется, что для того, чтобы выполнить
данное задание, необходимо научиться доказывать
истинность или ложность утверждений. Учитель
предлагает учащимся записать в тетрадь тему
урока “Доказательство истинности или ложности
утверждений” и провести исследование.
2.Исследование.
Исследование проводится в малых группах по 3-4
человека в каждой. Группам предлагается два
задания: три группы выполняют задание 1, три
группы – задание 2.
Задание 1.
- Прочитать в учебнике пункт 2 из параграфа 3
“Общие утверждения” (стр.61-62). - Найти среди утверждений, вывешенных на доске,
общие утверждения. - Провести доказательство истинности или
ложности выбранных утверждений, опираясь на
примеры, приведенные в тексте.
Задание 2.
- Прочитать в учебнике пункт 3 из параграфа 3
“Хотя бы один” (стр. 67). - Найти среди утверждений, вывешенных на доске,
утверждения типа “хотя бы один”. - Провести доказательство истинности или
ложности выбранных утверждений, опираясь на
примеры, приведенные в тексте.
3.Обмен информацией.
Группы отчитываются о проделанной работе.
4.Организация информации.
Исходя из результатов работы групп, учащимся
предлагается првести классификацию утверждений.
В процессе обсуждения выясняется, что среди
предложенных утверждений есть утверждения двух
типов: общие и типа “хотя бы один”.
К общим утверждениям относятся следующие
утверждения:
– все натуральные числа больше 1;
– любое натуральное число делится на 2;
– сумма любых трех последовательных натуральных
чисел делится на три;
– сумма любых двух чисел из множества {21; 15; 81; 27; 1215;
45} делится на 3;
– сумма любых двух соседних натуральных чисел
число нечетное.
К утверждениям типа “хотя бы один”
относятся:
– некоторые произведения А.С. Пушкина написаны в
прозе;
– произведение двух натуральных чисел может быть
больше их суммы;
– сумма двух натуральных чисел не всегда делится
на 3.
Для доказательства ложности общего
утверждения, то есть для опровержения данного
утверждения, достаточно привести
“контрпример”. В то же время для
доказательства истинности общего утверждения
привести даже большое число примеров
недостаточно.
У учащихся возникнут трудности с
доказательством истинности или ложности
утверждений “сумма любых трех
последовательных натуральных чисел делится на
три”, “сумма любых двух соседних натуральных
чисел число нечетное”, так как привести
“контрпримеры”, опровергающие данные
утверждения, они не смогут, а для доказательства
истинности у детей недостаточно знаний.
Возникшая проблема может быть использована на
следующем уроке в качестве мотивации.
В противоположность общим утверждениям,
истинность утверждения типа “хотя бы один”
можно доказать с помощью примера. Вопрос о
доказательстве ложности утверждений типа
“хотя бы один” не рассматривается на уроках,
так как для большинства детей является
достаточно сложным, поэтому утверждения этого
типа подобраны так, чтобы можно было доказать их
истинность. Этот вопрос можно рассмотреть на
внеклассных занятиях.
Таким образом, в результате распределения
данных утверждений на истинные и ложные
утверждения получится следующая классификация:
| Истинные утверждения | Ложные утверждения |
| сумма любых двух чисел из множества {21; 15; 81; 27; 1215; 45} делится на 3 | все натуральные числа больше 1 |
| некоторые произведения А.С. Пушкина написаны в прозе | любое натуральное число делится на 2 |
| произведение двух натуральных чисел может быть больше их суммы | |
| сумма двух натуральных чисел не всегда делится на 3 |
Доказать истинность утверждений “сумма
любых трех последовательных натуральных чисел
делится на три”, “сумма любых двух соседних
натуральных чисел число нечетное” учащиеся
смогут только на следующем уроке, поэтому они
пока не включены в таблицу.
5.Связывание информации.
Итогом обсуждения, организованного на
предыдущем этапе, может быть составление
таблицы.
Доказательство истинности или ложности
утверждения
| Тип утверждения | Доказательство истинности | Доказательство ложности |
| Общее | ? | Привести контрпример |
| «Хотя бы один» | Привести пример | ? |
6.Подведение итогов. Рефлексия.
В процессе беседы выясняется, в какой мере
достигнуто решение проблемы, в каком направлении
может быть продолжена работа над этой темой.
7. Применение.
Учащимся предлагается выполнить следующие
задания:
1. Среди приведенных утверждений найдите общие
утверждения, утверждения типа “хотя бы один”
и утверждения, не относящиеся к этим двум типам
утверждений.
- Можно найти существительное, состоящее из семи
различных букв. - В доме может быть больше 10 этажей.
- Некоторые люди носят очки.
- Каждый охотник желает знать, где сидит фазан.
- У кошки четыре ноги.
- Акулы – хищные рыбы.
- Костя Иванов – отличник.
- В пустыне Сахара иногда идет дождь.
- Некоторые медведи зимой не спят.
- Император Франции Наполеон 1 умер в 1815 году.
Организовать выполнение этого задания можно
следующим образом: двум группам предложить найти
общие утверждения, двум – утверждения типа
“хотя бы один”, двум – утверждения, не
относящиеся к этим двум типам утверждений. Затем
проводится обсуждение правильности выполнения
задания.
2. Правильно ли проведено доказательство
утверждений?
- Все натуральные числа делятся на 7: например,
14:7=2. - В русском языке некоторые глаголы начинаются с
буквы “и”: например, “игрушка”
начинается с буквы “и”. - Все имена существительные состоят из 5 букв:
например, существительное “книга” состоит
из 5 букв. - Любое число, оканчивающееся цифрой 3, делится на
3: например, 63:3=21. - Есть числа, оканчивающееся цифрой 3, которые
делятся на 3: например, 63:3=21. - В русском языке некоторые имена
существительные состоят из 5 букв: например,
существительное “книга” состоит из 5 букв.
Каждой группе предлагается выяснить
правильность доказательства только одного
утверждения, затем проводится обсуждение
предложенных ответов со всем классом.
3. Придумайте различные способы формулировки
утверждений:
- Все птицы имеют крылья.
- Некоторые птицы не умеют летать.
Данное задание выполняется фронтально.